Đối với một chất đơn giản, trong quá trình đoạn nhiệt mà thể tích tăng lên, the nội năng của chất làm việc phải giảm

Công thức toán học cho một khí lý tưởng trải qua một có trình đoạn nhiệt thuận nghịch (không tạo ra entropy) có thể diễn tả bằng phương trình quá trình đa hướng[3]

P V n = {\displaystyle PV^{n}=} hằng số {\displaystyle \qquad }

trong đó P là áp suất, V là thể tích, và đối với trường hợp này n = γ với

γ = C P C V = f + 2 f , {\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={\frac {f+2}{f}},}

CP là tỷ nhiệt đối với áp suất không đổi, CV là tỷ nhiệt của thể tích không đổi, γ là chỉ số đoạn nhiệt, và f là số mức độ tự do (3 đối với khí đơn nguyên, 5 đối với khí lưỡng nguyên và các phân tử thẳng hàng v.d. cacbon điôxít).

Đối với một khí lý tưởng đơn nguyên, γ = 5/3, và đối với khí lưỡng nguyên (như là nitơ và ôxi, thành phần chính của không khí) γ = 7/5.[8] Chú ý rằng công thức trên chỉ áp dụng với khí lý tưởng cổ điển và không áp dụng với khí Bose–Einstein hoặc Fermi.

Đối với quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch, điều sau đây cũng đúng

P 1 − γ T γ = {\displaystyle P^{1-\gamma }T^{\gamma }=} hằng số[3] V T f 2 = {\displaystyle VT^{\frac {f}{2}}=} hằng số

với T là nhiệt độ tuyệt đối. Nó có thể viết dưới dạng

T V γ − 1 = {\displaystyle TV^{\gamma -1}=} hằng số[3]

Ví dụ về nén đoạn nhiệt

Hành trình nén trong một động cơ ga có thể được sử dụng làm một ví dụ về sự nén đoạn nhiệt. Giả định mô hình là: thể tích chưa nén của hình trụ là 1 lít (1 l = 1000 cm3 = 0,001 m3); phần khí trong không khí chỉ bao gồm phân tử ni tơ và ôxi (do đó khí lưỡng nguyên có năm bậc tự do và vậy nên γ = 7/5); Tỷ lệ nén của động cơ là 10:1 (nghĩa là, 1 l thể tích khí không nén bị giảm xuống 0,1 l bởi piston); và khí không né ở nhiệt độ phòng và áp suất (nhiệt độ phòng ấm ~27 °C hoặc 300 K, và áp suất 1 bar = 100 kPa, vd: áp suất khí quyển điển hình tại mực nước biển).

P V γ = {\displaystyle PV^{\gamma }=} hằng số1 = 100 , 000 Pa × ( 0.001 m 3 ) 7 5 = 10 5 × 6 , 31 × 10 − 5 Pa ⁡ m 21 / 5 = 6 , 31 Pa ⁡ m 21 / 5 {\displaystyle =100,000\operatorname {Pa} \times (0.001\operatorname {m} ^{3})^{\frac {7}{5}}=10^{5}\times 6,31\times 10^{-5}\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{21/5}=6,31\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{21/5}}

vậy giá trị hằng số đoạn nhiệt của ví dụ này là khoảng 6,31 Pa m4,2.

Chất khí bây giờ bị nén đến thể tích 0,1 l (0,0001 m3) (cho rằng việc này xảy ra đủ nhah để không có nhiệt được truyền vào hoặc đi ra khỏi chất khí qua tường). Hằng số đoạn nhiệt vẫn không đổi, nhưng kết quả của áp suất không xác định

P V γ = {\displaystyle PV^{\gamma }=} hằng số1 = 6 , 31 Pa ⁡ m 21 / 5 = P × ( 0.0001 m 3 ) 7 5 {\displaystyle =6,31\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{21/5}=P\times (0.0001\operatorname {m} ^{3})^{\frac {7}{5}}}

ta có P:

P = 6 , 31 Pa ⁡ m 21 / 5 ( 0 , 0001 m 3 ) 7 5 = 6 , 31 Pa ⁡ m 21 / 5 2 , 5 × 10 − 6 m 21 / 5 = 2 , 51 × 10 6 Pa {\displaystyle P={\frac {6,31\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{21/5}}{(0,0001\operatorname {m} ^{3})^{\frac {7}{5}}}}={\frac {6,31\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{21/5}}{2,5\times 10^{-6}\operatorname {m} ^{21/5}}}=2,51\times 10^{6}\operatorname {Pa} }

hoặc 25,1 bar. Chú ý rằng áp suất này có thể tăng nhiều hơn là tương ứng với tỷ lệ nén đơn giản 10:1; điều này là bởi vì khí không chỉ bị nèn, mà công thực hiện để nén khí cũng làm tăng nội năng của nói biểu hiện bởi việc tăng nhiệt độ khí và một sự tăng áp suất vượt lên kết quả mà một tính toán đơn giản là 10 lần áp suất ban đầu sẽ đưa ra.

Chúng ta có cũng thể giải để tìm nhiệt độ của khí nén trong động cơ hình trụ, bằng cách sử dụng định luật khí lý tưởng, PV=nRT (n là lượng khí trong mol và R là hằng số khí của khí). Điều kiện ban đầu của chúng ta là áp suất 100 kPa, thể tích 1 l, và nhiệt độ 300 K, hằng số thí nghiệm của chúng ta (=nR) là:

P V T = {\displaystyle {PV \over T}=} hằng số2 = 10 5 Pa × 10 − 3 m 3 300 K = 0 , 333 Pa ⁡ m 3 ⁡ K − 1 {\displaystyle ={{10^{5}\operatorname {Pa} \times 10^{-3}\operatorname {m} ^{3}} \over {300\operatorname {K} }}=0,333\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{3}\operatorname {K} ^{-1}}

Ta biết khí nén có V = 0,1 l và P = &Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /Lỗi biểu thức: Dư toán tử /-1.0000002,51×106 Pa, nên ta có thể giải để tìm nhiệt độ:

T = P V / {\displaystyle T=PV/} hằng số2 = 2.51 × 10 6 Pa × 10 − 4 m 3 0 , 333 Pa ⁡ m 3 ⁡ K − 1 = 753 K {\displaystyle ={{2.51\times 10^{6}\operatorname {Pa} \times 10^{-4}\operatorname {m} ^{3}} \over {0,333\operatorname {Pa} \operatorname {m} ^{3}\operatorname {K} ^{-1}}}=753\operatorname {K} }

Nhiệt độ cuối cùng là 753 K, hoặc 479 °C, hoặc 896 °F, nhiều hơn nhiệt độ độ cháy của nhiều nhiên liệu. Đây là lý do vì sao động cơ nén cao cần nhiên liệu được chế tạo đặc biệt để không tự đốt cháy (mà sẽ gây ra sự roóc máy khi vận hành dưới điều kiện nhiệt độ và áp suất này), hoặc một bộ siêu nạp với một thiết bị làm mát chất lỏng để làm tăng cao áp suất nhưng tăng ít nhiệt độ hơn sẽ tạo ra lợi thế. Động cơ Diesel còn vận hành kể cả dưới điều kiện khắc nghiệt hơn, với tỷ lệ nén điển hình là 20:1 hoăc nhiều hơn, để tạo ra nhiệt độ khí rất cao mà đảm bảo đốt cháy nhiên liệu bơm vào ngay lập tức.

Giãn nở tự do đoạn nhiệt của khí

Đối với sự giãn sử tự do đoạn nhiệt của khí lý tưởng, khí được chứa trong một vật chứa cách ly và có thể giãn nở trong chân không. Vì không có áp lực bên ngoài nào khiến khí nở ra, công thực hiện bởi hoặc vào hệ bằng không. VÌ quá trình này không liên quan đến truyền nhiệt hoặc công, định luật một nhiệt động lực học chỉ ra rằng tổng thay đổi nội năng của hệ bằng không. Đối với một khí lý tưởng, nhiệt độ vẫn không đổi vì nội năng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ trong trường hợp đó. Bởi vì ở nhiệt độ không đổi, entropy tỷ lệ với thể tích, entropy tăng lên trong trường hợp này, do đó quá trình này không thuận nghịch.

Chứng minh quan hệ P–V đối với làm nóng và làm lạnh đoạn nhiệt

Định nghĩa quá trình đoạn nhiệt là nhiệt truyền vào hệ bằng không, δQ = 0. Vậy nên, theo định luật một nhiệt động lực học,

(1) d U + δ W = δ Q = 0 , {\displaystyle {\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0,}

với dU là thay đổi trong nội năng của hệ và δW là công tác dụng bởi hệ. Bất cứ công (δW) nào được tác dụng phải là do nội năng U, vì không có nhiệt δQ được cung cấp từ xung quanh. Công tác dụng bở áp suất–thể tích δW của hệ được định nghĩa là

(2) δ W = P d V . {\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV.}

Tuy nhiên, P không phải hằng số trong quá trình đoạn nhiệt mà thay vào đó nó thay đổi cùng với V.

Chúng ta muốn biết các giá trị dP và dV liên quan đến nhau thế nào khi quá trình đoạn nhiệt diễn ra. Đối với khí lý tưởng nội năng là

(3) U = α n R T , {\displaystyle {\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,}

với α là số bậc tự do chia hai, R là hằng số khí và n là số mol trong hệ (một hằng số).

Đạo hàm phương trình (3) và sử dụng định luật khí lý tưởng, PV = nRT, ta có

(4) d U = α n R d T = α d ( P V ) = α ( P d V + V d P ) . {\displaystyle {\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP).}

Phương trình (4) thường được diễn tả là dU = nCV dT vì CV = αR.

Bây giờ thay thế (2) và (4) vào phương trình (1) ta có

− P d V = α P d V + α V d P , {\displaystyle -P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP,}

thừa số chung −P dV:

− ( α + 1 ) P d V = α V d P , {\displaystyle -(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP,}

và chia cả hai vế với PV:

− ( α + 1 ) d V V = α d P P . {\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}

Sau khi tích phân vế trái và phải từ V0 đến V và từ P0 đến P và lần lượt thay đổi từng vế,

ln ⁡ ( P P 0 ) = − α + 1 α ln ⁡ ( V V 0 ) . {\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right).}

Mũ hóa cả hai vế, và thay α + 1/α với γ, tỷ lệ tỷ nhiệt

( P P 0 ) = ( V V 0 ) − γ , {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\gamma }},}

và loại bỏ dấu trừ để có

( P P 0 ) = ( V 0 V ) γ . {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\gamma }.}

Do đó,

( P P 0 ) ( V V 0 ) γ = 1 {\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\gamma }=1}

và

P 0 V 0 γ = P V γ = {\displaystyle P_{0}V_{0}^{\gamma }=PV^{\gamma }=} hằng số

Chứng minh quan hệ P–T đối với làm nóng và làm lạnh đoạn nhiệt

Thay định luật khí lý tưởng vào phần trên, ta có

P ( n R T P ) γ = {\displaystyle P\left({\frac {nRT}{P}}\right)^{\gamma }=} hằng số

Giản ước thành

P ( 1 − γ ) T γ = {\displaystyle P^{(1-\gamma )}T^{\gamma }=} hằng số

Chứng minh phương trình rời rạc

Sự thay đổi trong nội năng của một hệ, được đo từ trạng thái 1 đến trạng thái 2, bằng

(1) Δ U = α R n T 2 − α R n T 1 = α R n Δ T {\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha RnT_{2}-\alpha RnT_{1}=\alpha Rn\Delta T}

Cùng lúc đó, kết quả của quá trình này là công thực hiện bởi áp suất-thể tích thay đổi, bằng

(2) W = ∫ V 1 V 2 P d V {\displaystyle {\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV}

Vì ta muốn quá trình này đoạn nhiệt, phương trình sau phải đúng

(3) Δ U + W = 0 {\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0}

Bằng chứng minh trước đây,

(4) P V γ = {\displaystyle {\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }=} hằng số = P 1 V 1 γ {\displaystyle =P_{1}V_{1}^{\gamma }}

Chuyển vế (4) ta có

P = P 1 ( V 1 V ) γ {\displaystyle P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }}

Thay vào (2) ta có

W = ∫ V 1 V 2 P 1 ( V 1 V ) γ d V {\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV}

Tích phân,

W = P 1 V 1 γ V 2 1 − γ − V 1 1 − γ 1 − γ {\displaystyle W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}

Thay γ = α + 1/α,

W = − α P 1 V 1 γ ( V 2 1 − γ − V 1 1 − γ ) {\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)}

Sắp xếp lại,

W = − α P 1 V 1 ( ( V 2 V 1 ) 1 − γ − 1 ) {\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}

Sử dụng định luật khí lý tưởng và giả sử có một lượng phần tử gam không đổi (như thường xảy ra trong thực tế),

W = − α n R T 1 ( ( V 2 V 1 ) 1 − γ − 1 ) {\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}

Do đó,

P 2 P 1 = ( V 2 V 1 ) − γ {\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }}

Hay,

( P 2 P 1 ) − 1 γ = V 2 V 1 {\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}

Thay vào phương trình trước đó của W,

W = − α n R T 1 ( ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 ) {\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}

Thay (1) và (3) vào phương trình này ta có

α n R ( T 2 − T 1 ) = α n R T 1 ( ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 ) {\displaystyle \alpha nR(T_{2}-T_{1})=\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}

Giản ước,

T 2 − T 1 = T 1 ( ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 ) {\displaystyle T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}

Giản ước,

T 2 T 1 − 1 = ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ − 1 {\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1}

Giản ước,

T 2 = T 1 ( P 2 P 1 ) γ − 1 γ {\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}